Korttien todennäköisyys

Korttien todennäköisyys lyhyesti

Korttilaskenta nojaa kahteen ajatukseen. Yhtä korttia nostettaessa jokainen 52 kortista on yhtä todennäköinen, joten todennäköisyys on suotuisten korttien lukumäärä jaettuna luvulla 52. Useamman kortin käsissä — kuten pokerissa — täytyy laskea, kuinka monella eri tavalla suotuisa kokoelma syntyy, ja siihen tarvitaan binomikerroin nCr.

Toinen kantava periaate on otanta ilman takaisinpanoa: kun kortti on nostettu, sitä ei palauteta, joten pakka pienenee ja seuraavat todennäköisyydet muuttuvat. Tällaiset riippuvat tapahtumat erottavat kortit selvästi nopasta ja kolikosta, joissa jokainen heitto on toisistaan riippumaton. Saman matematiikan tunnistat nopan silmälukujen laskennasta ja kolikon heiton todennäköisyyksistä, vaikka niissä pakka ei kulu.

Yhden kortin perustodennäköisyydet (taulukko)

Pakan rakenne tekee laskuista mekaanisia. Neljä maata (pata, hertta, ruutu, risti) jakavat 52 korttia tasan, joten yhden maan korttien osuus on 13/52. Punaisia ja mustia kortteja on kumpaakin 26, joten värin osuminen on tismalleen kolikonheiton kaltainen 50/50-tilanne. Alla olevassa taulukossa on kuusi yleisintä yhden noston tapahtumaa.

Ässä ja mikä tahansa muu yksittäinen arvo jakavat saman 4/52-todennäköisyyden, koska jokaista arvoa on pakassa neljä kappaletta — yksi kutakin maata kohden. Syötä mikä tahansa näistä tapahtumista yllä olevaan laskuriin, niin saat samalla vastaavat kertoimet.

Klassinen todennäköisyys: suotuisat / kaikki

Klassisen todennäköisyyden ehto on, että jokainen perustulos on yhtä todennäköinen. Sekoitetussa pakassa tämä toteutuu: mikä tahansa 52 kortista voi nousta yhtä suurella todennäköisyydellä. Tällöin laskeminen palautuu kahteen lukumäärään — montako korttia toteuttaa ehdon ja montako korttia on kaikkiaan.

1. Laske kaikkien mahdollisten tulosten määrä — yhdellä nostolla 52.
2. Laske suotuisten korttien määrä eli montako korttia toteuttaa tapahtuman.
3. Jaa suotuisat kaikilla ja muunna prosentiksi.

Esimerkiksi todennäköisyys nostaa punainen kuvakortti: punaisia kuvakortteja (hertan ja ruudun J/Q/K) on kuusi, joten P = 6/52 ≈ 11,54 %. Yhdistettyjä ehtoja laskettaessa kannattaa varoa kaksoislaskentaa — jos kysytään ässää TAI kuvakorttia, suotuisia on 4 + 12 = 16, koska ässät eivät kuulu kuvakortteihin. Saman suotuisat/kaikki-periaatteen näet myös todennäköisyyslaskurin etusivulla, jossa voit laskea oman tapahtuman ilman valmista pohjaa.

Pokerikäden todennäköisyys ja nCr-johtaminen

Pokerissa korttien järjestyksellä ei ole väliä, joten lasketaan yhdistelmiä eli kombinaatioita, ei permutaatioita. Yhdistelmien määrä saadaan binomikertoimella nCr, joka kertoo, kuinka monella tavalla n alkiosta voi valita r alkiota järjestyksestä välittämättä:

1. Kaikkien viiden kortin käsien määrä on binomikerroin C(52,5) = 2 598 960. Tämä on jokaisen pokeritodennäköisyyden nimittäjä.
2. Laske, kuinka monella tavalla haluttu käsi voi muodostua — tämä on osoittaja.
3. Jaa osoittaja nimittäjällä ja muunna prosentiksi.

nCr-laskennan ja kertoman (n!) perusteet käydään läpi sivulla yhdistelmät ja permutaatiot — siellä näet, miten C(52,5) syntyy ja miksi jakaja 5! = 120 poistaa järjestyksen. Pokerin osoittajan rakentaminen vaatii usean binomikertoimen tuloa: valitaan ensin arvo, sitten maat ja lopuksi loput kortit niin, ettei käsi vahingossa parane korkeammaksi yhdistelmäksi.

Pokerikäsien todennäköisyystaulukko

Taulukko järjestää viiden kortin pokerikädet todennäköisimmästä harvinaisimpaan. Prosentit lasketaan jakamalla kunkin käden yhdistelmämäärä luvulla 2 598 960. Mitä alempana käsi on listalla, sitä korkeamman se voittaa pokerin käsijärjestyksessä.

Lukujen mittakaava avautuu, kun ne muuntaa kertoimiksi. Väri esiintyy noin kerran 500 kädestä ja värisuora käytännössä kerran kymmenistä tuhansista. Tämä todennäköisyyden ja kertoimen yhteys on sama, jota käytetään kertoimien ja todennäköisyyden muuntamisessa — reilu kerroin on karkeasti yksi jaettuna käden todennäköisyydellä.

Yhdistelmät ja kertoma korteissa

Permutaation ja kombinaation ero ratkaisee, miten suuria luvut kasvavat. Jos seitsemän kortin järjestys laskettaisiin erikseen, vaihtoehtoja olisi nPr(39,7) = 77 519 922 480. Kun järjestys jätetään huomiotta, jaetaan luvulla 7! = 5 040, jolloin saadaan C(39,7) = 15 380 937 — tämä on puhdas yhdistelmälasku, ei lottoluku. Pokerin C(52,5) = 2 598 960 syntyy täsmälleen samalla periaatteella.

Kertoman kasvuvauhti selittää, miksi korttipelien isot luvut paisuvat nopeasti. Pienikin lisäys valittavien korttien määrässä moninkertaistaa vaihtoehdot. Kaikki nämä lausekkeet ja niiden johtaminen on avattu tarkemmin sivulla yhdistelmistä ja permutaatioista.

Otanta ilman takaisinpanoa (riippuvat tapahtumat)

Riippumattomassa kokeessa, kuten nopanheitossa, edellinen tulos ei vaikuta seuraavaan. Korteissa tilanne on toinen: jos ensimmäinen nosto oli ässä, jäljellä on enää kolme ässää ja 51 korttia. Peräkkäisten nostojen todennäköisyys lasketaan ketjuna, jossa nimittäjä pienenee nosto nostolta. Todennäköisyys saada kaksi ässää peräkkäin on 4/52 · 3/51 ≈ 0,452 %, ja kolme ässää peräkkäin 4/52 · 3/51 · 2/50 ≈ 0,018 %. Yleisesti ketju on muotoa a/52 · b/51 · c/50 …, jossa osoittajat seuraavat suotuisten korttien vähenemistä.

Vähintään yhden suotuisan kortin todennäköisyys lasketaan kätevimmin vastatapahtuman kautta: lasketaan ensin, ettei yhtään suotuisaa korttia tule, ja vähennetään se ykkösestä. Viiden noston aineistossa, jossa ässättömiä kortteja on 48, vastatapahtuma on C(48,5)/C(52,5), joten vähintään yksi ässä saadaan todennäköisyydellä 1 − C(48,5)/C(52,5) ≈ 34,12 %. Tätä riippuvien tapahtumien mallia kutsutaan hypergeometriseksi jakaumaksi.

• Tunnista, palautetaanko kortti — palautuksen puuttuminen tekee tapahtumista riippuvia.
• Peräkkäisissä nostoissa kerro ketju a/52 · b/51 · c/50 …, jossa nimittäjä pienenee joka kerta.
• Käytä vastatapahtumaa, kun kysytään ”vähintään yksi”: 1 miinus ei yhtään.
• Useamman noston laskuissa nimittäjänä on C(52, nostettujen määrä), ei pelkkä 52.

Vastatapahtuma-tekniikan tunnistat myös toistuvista riippumattomista kokeista: kolmella kolikonheitolla vähintään yksi kruuna tulee 87,5 %:n todennäköisyydellä — kaava on rakenteeltaan sama, vaikka kortit ja kolikko eroavat riippuvuuden osalta.

Blackjackin todennäköisyys ja korttipelit

Blackjackissa tavoitellaan kahdella ensimmäisellä kortilla kahtakymmentäyhtä: ässä yhdistettynä mihin tahansa kymmenen arvoiseen korttiin. Kymppejä on pakassa 16 (kortit 10, J, Q ja K, neljä kutakin). Koska järjestyksellä ei ole väliä – ässä voi tulla ensin tai jälkimmäisenä – kerrotaan tulos kahdella: 2 · (4/52) · (16/51) ≈ 4,83 %. Tämä on suora sovellus klassisesta laskusäännöstä, jossa lasketaan suotuisat tapaukset kaikkien mahdollisten suhteen. Eri korttien yhdistelmien laskentaan pätevät samat yhdistelmien ja permutaatioiden säännöt kuin pokerikädissä.

Olennainen ero noppaan tai kolikkoon on riippuvuus: nostettu kortti ei palaa pakkaan, joten jokainen jako muuttaa jäljellä olevien korttien jakaumaa ja siten seuraavan tapahtuman todennäköisyyttä. Sama prosentti voidaan myös ilmaista kertoimena, kun todennäköisyys muunnetaan kertoimeksi. Nämä luvut kuvaavat vain matematiikkaa, eivät pelitapaa tai voittostrategiaa.

Korteista lottoon ja peleihin: sovellukset

Sama binomikerroin, joka antaa pokerikäsien määrän, antaa myös arvontarivien lukumäärän. Lotossa valitaan seitsemän numeroa neljästäkymmenestä, eikä järjestyksellä ole väliä, joten rivien määrä on C(40,7) = 18 643 560 ja yhden rivin osuma 1:18 643 560. Pienemmät voittoluokat ovat huomattavasti todennäköisempiä: kuusi oikein ja lisänumero 1:2 663 366, kuusi oikein 1:83 230, viisi oikein 1:1 681 ja neljä oikein 1:98.

Eurojackpotissa valitaan viisi päänumeroa viidestäkymmenestä ja kaksi tähtinumeroa kahdestatoista, joten yhdistelmiä on C(50,5) · C(12,2) = 2 118 760 · 66 = 139 838 160. Korttipeleissä, kuten pokerissa ja blackjackissa, korostuu lisäksi riippuvuus: pakka kuluu pelin edetessä, mikä erottaa ne palautettavista arvonnoista. Onnenpeleissä palautusprosentti ja talon marginaali määräävät pitkän aikavälin tuoton — yleisesti palautusprosentti on yksi miinus pelin marginaali. Näiden todennäköisyyksien muuntaminen kertoimiksi onnistuu kertoimet ja todennäköisyys -sivulla.